[q201109131600]  $(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$, $(B_{\mu}\mid \mu\in M)$ を同じ添字集合 $\Lambda$ をもつ集合系とする. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $A_{\lambda}$ は空でないとする. このとき, $\displaystyle \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\subseteq\prod_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}$ であるためには, 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して $A_{\lambda}\subseteq B_{\lambda}$ であることが必要十分であることを証明せよ.

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[q201109131700]  $(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$, $(B_{\mu}\mid \mu\in M)$ を同じ添字集合 $\Lambda$ をもつ集合系とするとき, $$ \left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right) = \prod_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109200600]  $(A_n)$ を集合の列とするとき, \begin{align*} x\in\limsup_{n\to\infty}{A_n} & \Longleftrightarrow \mbox{$x\in A_n$ となる番号 $n\in\mathbb{N}$ が無限個存在する. } \\ x\in\liminf_{n\to\infty}{A_n} & \Longleftrightarrow \mbox{ある番号より大きいすべての番号 $n\in\mathbb{N}$ に対して $x\in A_n$. } \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109160900]  $(A_n)$, $(B_n)$ を集合の列とする. 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $A_n\subseteq B_n$ であるとする. このとき, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}{A_n} &\subseteq\limsup_{n\to\infty}{B_n}, \\ \liminf_{n\to\infty}{A_n} &\subseteq\liminf_{n\to\infty}{B_n} \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109161000]  $(A_n)$ を集合の列とするとき, $$ \liminf_{n\to\infty}{A_n} \subseteq\limsup_{n\to\infty}{A_n} $$ が成り立つことを証明せよ.

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