解答例 1

$\displaystyle x\in\limsup_{n\to\infty}{A_n} = \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}{A_n}$ とする. もし仮に $x\in A_n$ となる $n\in\mathbb{N}$ が有限個しか存在しないとすると, そのような最大の $n_1\in\mathbb{N}$ が存在するはずである. ところが, $$ x\in \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}{A_n} \subseteq \bigcup_{n=n_1+1}^{\infty}{A_n} $$ であるから, ある $n_2\in\mathbb{N}$ が存在して, $n_2\geq n_1+1$ かつ $x\in A_{n_2}$ となる. これは $n_1$ の定め方に反する. したがって, $x\in A_n$ となる $n\in\mathbb{N}$ は無限個ある.

逆に, $\displaystyle x\not\in\limsup_{n\to\infty}{A_n}$ とする. ある $n_0\in\mathbb{N}$ が存在して, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $$ n\geq n_0\Longrightarrow x\not\in A_n $$ となる. 対偶をとると, $$ x\in A_n \Longrightarrow n<n_0. $$ よって, $x\in A_n$ となる $n\in\mathbb{N}$ は有限個しかない.

$\displaystyle x\in\liminf_{n\to\infty}{A_n}= \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}{A_n}$ とする. ある $n_0\in\mathbb{N}$ が存在して, $\displaystyle x\in\bigcap_{n=n_0}^{\infty}{A_n}$. よって, $n\geq n_0$ を満たす全ての $n\in\mathbb{N}$ に対して, $x\in A_n$.

逆に, ある $n_0\in\mathbb{N}$ が存在して, $n\geq n_0$ を満たす全ての $n\in\mathbb{N}$ に対して $x\in A_n$ であるとする. そのとき, $\displaystyle x\in\bigcap_{n=n_0}^{\infty}{A_n}$. よって, $\displaystyle x\in \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}{A_n}$.

最終更新日：2011年11月02日