[q201109161100]  $(A_n)$, $(B_n)$ を集合の列とするとき, $$ \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cup B_n)} = \limsup_{n\to\infty}A_n\cup \limsup_{n\to\infty}B_n $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109161200]  $(A_n)$, $(B_n)$ を集合の列とするとき, $$ \liminf_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} = \liminf_{n\to\infty}A_n\cap \liminf_{n\to\infty}B_n $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109161300]  $(A_n)$ を集合の列とする. 各 $n\in\mathbb{N}$ に対して $A_n\subseteq A_{n+1}$ であるとする. このとき, $$ \lim_{n\to\infty}A_n = \bigcup_{n=0}^{\infty}A_n $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109161400]  $(A_n)$ を集合の列とする. 各 $n\in\mathbb{N}$ に対して $A_{n+1}\subseteq A_n$ であるとする. このとき, $$ \lim_{n\to\infty}A_n = \bigcap_{n=0}^{\infty}A_n $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109161500]  $X$ を普遍集合, $(A_n)$ を $X$ の部分集合の列, $B$ を $X$ の部分集合とする. このとき, \begin{align*} & B\setminus\liminf_{n\to\infty}A_n = \limsup_{n\to\infty}{(B\setminus A_n)}, \\ & B\setminus\limsup_{n\to\infty}A_n = \liminf_{n\to\infty}{(B\setminus A_n)} \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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