$(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$, $(B_{\mu}\mid \mu\in M)$ を同じ添字集合 $\Lambda$ をもつ集合系とするとき, $$ \left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right) = \prod_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$\displaystyle A=\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$, $\displaystyle B=\prod_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}$, $\displaystyle C=\prod_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B_{\lambda})$ とおく.
ある $\lambda\in\Lambda$ が存在して, $A_{\lambda}=\emptyset$ または $B_{\lambda}=\emptyset$ であるとすれば, $A=\emptyset$ または $B=\emptyset$ となり, 等式は自明である. 以下, すべての $\lambda\in\Lambda$ に対して, $A_{\lambda}$, $B_{\lambda}$ はともに空でないと仮定する.
任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $A_{\lambda}$, $B_{\lambda}$ はともに $A_{\lambda}\cap B_{\lambda}$ を含む. よって, $A$, $B$ はともに $C$ を含む. ゆえに, $C\subseteq A\cap B$.
逆に, $f\in A\cap B$ とする. $f\in A$ かつ $f\in B$ である. $f$ は $\Lambda$ で定義された写像である. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $f\in A$ より $f(\lambda)\in A_{\lambda}$ であり, $f\in B$ より $f(\lambda)\in B_{\lambda}$ であるから, $f(\lambda)\in A_{\lambda}\cap B_{\lambda}$ である. ゆえに, $f\in C$. したがって, 逆の包含関係もいえる.
最終更新日：2011年11月02日