$(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$, $(B_{\mu}\mid \mu\in M)$ を同じ添字集合 $\Lambda$ をもつ集合系とする. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $A_{\lambda}$ は空でないとする. このとき, $\displaystyle \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\subseteq\prod_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}$ であるためには, 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して $A_{\lambda}\subseteq B_{\lambda}$ であることが必要十分であることを証明せよ.
解答例 1
$\displaystyle A=\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$, $\displaystyle B=\prod_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}$ とおく.
$A\subseteq B$ であると仮定する. $\lambda\in\Lambda$ を任意に1つとり固定する. $a_0\in A_{\lambda}$ とする. 射影 $\mathrm{pr}_{\lambda}:A\rightarrow A_{\lambda}$ は全射であるから, ある $a=(a_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)\in A$ が存在して, $\mathrm{pr}_{\lambda}(a) = a_0$. すなわち, $a_{\lambda}=a_0$ となる. $A\subseteq B$ と仮定したから $a\in B$ である. よって, $a_{\lambda}\in B_{\lambda}$. すなわち, $a_0\in B_{\lambda}$. ゆえに, $A_{\lambda}\subseteq B_{\lambda}$.
逆に, 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して $A_{\lambda}\subseteq B_{\lambda}$ であると仮定する. $a=(a_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)\in A$ とすると, 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $$ a_{\lambda}\in A_{\lambda}\subseteq B_{\lambda}. $$ ゆえに, $a\in B$. したがって, $A\subseteq B$.
最終更新日：2011年11月02日