解答例 1

$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}{A_n}=\bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}A_n$, $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}{A_n}=\bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}A_n$ である.

各 $k\in\mathbb{N}$ に対して, $$ \bigcap_{n=0}^{\infty}A_n \subseteq\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n \subseteq\cdots \subseteq\bigcap_{n=k}^{\infty}A_n \subseteq A_k. $$ よって, 任意の $j\in\mathbb{N}$ に対して, $$ \bigcup_{k=0}^{\infty}\bigcap_{n=k}^{\infty}A_n = \bigcup_{k=j}^{\infty}\bigcap_{n=k}^{\infty}A_n \subseteq\bigcup_{k=j}^{\infty}A_k. $$ ゆえに, $$ \bigcup_{k=0}^{\infty}\bigcap_{n=k}^{\infty}A_n \subseteq\bigcap_{j=0}^{\infty}\bigcup_{k=j}^{\infty}A_k. $$ 添字を書き直せば, $$ \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}A_n \subseteq\bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}A_n $$ となる.

最終更新日：2011年11月02日