$(A_n)$, $(B_n)$ を集合の列とする. 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $A_n\subseteq B_n$ であるとする. このとき, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}{A_n} &\subseteq\limsup_{n\to\infty}{B_n}, \\ \liminf_{n\to\infty}{A_n} &\subseteq\liminf_{n\to\infty}{B_n} \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
仮定より, 任意の $i\in\mathbb{N}$ に対して, $\displaystyle \bigcup_{n=i}^{\infty}A_n\subseteq \bigcup_{n=i}^{\infty}B_n$. ゆえに, $$ \limsup_{n\to\infty}{A_n} = \bigcap_{i=0}^n\bigcup_{n=i}^{\infty}A_n \subseteq \bigcap_{i=0}^n\bigcup_{n=i}^{\infty}B_n =\limsup_{n\to\infty}{B_n}. $$ また, 仮定より, 任意の $i\in\mathbb{N}$ に対して, $\displaystyle \bigcap_{n=i}^{\infty}A_n\subseteq \bigcap_{n=i}^{\infty}B_n$. ゆえに, $$ \liminf_{n\to\infty}{A_n} = \bigcup_{i=0}^n\bigcap_{n=i}^{\infty}A_n \subseteq \bigcup_{i=0}^n\bigcap_{n=i}^{\infty}B_n =\liminf_{n\to\infty}{B_n}. $$
最終更新日：2011年11月02日