[q201110151100]  $X$, $Y$ を集合, $f:X→Y$ を単射, $(A_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ を $X$ の部分集合系とする. このとき, $$ f\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109121200]  $X$, $Y$ を集合, $f:X\rightarrow Y$ を写像, $(B_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ を $Y$ の部分集合系とする. このとき, $$ f^{-1}\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda} \right) = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(B_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109121300]  $X$, $Y$ を集合, $f:X\rightarrow Y$ を写像, $(B_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ を $Y$ の部分集合系とする. このとき, $$ f^{-1}\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda} \right) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(B_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109200900]  $X$ を普遍集合とし, $(A_n)$ を $X$ の部分集合の列とする. また, $\displaystyle A = \bigcup_{n=0}^{\infty}{A_n}$, $\displaystyle B = \bigcap_{n=0}^{\infty}{A_n}$ とおく. このとき, 任意の $x\in X$ に対して, \begin{align*} \chi_A(x) &= \sup_{n\in\mathbb{N}}{\chi_{A_n}(x)}, \\ \chi_B(x) &= \inf_{n\in\mathbb{N}}{\chi_{A_n}(x)} \end{align*} が成り立つことを証明せよ. ただし, $$ \chi_A:X\longrightarrow\{0, 1\},\quad x \longmapsto \begin{cases} 1, & \mbox{$x\in A$ のとき} \\ 0, & \mbox{$x\in X\setminus A$ のとき} \end{cases} $$ を $X$ における $A$ の定義関数とし, 他も同様とする.

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[q201109131500]  $(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を集合系とする. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $A_{\lambda}$ は空でないとする. このとき, 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, 射影 $$ \mathrm{pr}_{\lambda}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\longrightarrow A_{\lambda},\quad (a_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda) \longmapsto a_{\lambda} $$ は全射であることを証明せよ.

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