[q201109261300]  $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. このとき, \begin{equation} \lvert{(\bm{x}\mid\bm{y})}\rvert \leq \lVert{\bm{x}}\rVert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Schwarz の不等式, シュワルツの不等式

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[q201109261400]  $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} \lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert &\leq \lVert{\bm{x}}\rVert + \lVert{\bm{y}}\rVert, \\ \lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert &\leq \lVert{\bm{x}}\rVert + \lVert{\bm{y}}\rVert \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: 三角不等式

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[q201109261500]  $V$ を $\mathbb{R}$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. また, $\theta$ を $\bm{x}$ と $\bm{y}$ とのなす角とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} \lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + 2\lVert{\bm{x}}\rVert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert\cos\theta, \\ \lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 - 2\lVert{\bm{x}}\rVert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert\cos\theta \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: 余弦定理

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[q201108301700]  $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の $n$ 次元計量ベクトル空間, $u_1$, $u_2$, $\ldots$, $u_n$ を $V$ の正規直交基底とする. このとき, $V$ の任意のベクトル $x$ は $$ x = \sum_{i=1}^n(x\mid u_i)u_i $$ と表されることを証明せよ.

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[q201108260900]  $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の有限次元計量ベクトル空間, $W$ を $V$ の部分空間とする. このとき, $$ W^{\bot} = \{ x\in V \mid (x\mid y) = 0\,(\forall y\in W) \} $$ は $V$ の部分空間であることを証明せよ.

Keywords: 直交補空間

Description: $W^{\bot}$ を $W$ の $V$ における直交補空間という.

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