[q201108151015]  $A$, $B$ を集合, $f:A\rightarrow B$ を全射, $g:B\rightarrow A$, $g':B\rightarrow A$ を写像とする. このとき, $g\circ f=g'\circ f$ ならば $g=g'$ であることを証明せよ.

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[q201108151030]  $A$, $B$ を集合, $f:A\rightarrow B$, $g:B\rightarrow A$, $g':B\rightarrow A$ を写像, $\mathrm{id}_A$, $\mathrm{id}_B$ をそれぞれ $A$, $B$ 上の恒等写像とする. このとき, $g\circ f=\mathrm{id}_A$, $f\circ g'=\mathrm{id}_B$ が成り立てば, $f$ は全単射で, $g=g'=f^{-1}$ であることを証明せよ.

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[q201108302200]  任意の全射 $f:A\rightarrow B$ に対して, ある写像$s:B\rightarrow A$が存在して, $f\circ s = \mathrm{id}_{B}$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201108302230]  $A$, $B$ を集合とするとき, $A$ から $B$ への全射が存在すれば, $B$ から $A$ への単射が存在することを証明せよ.

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[q201109120400]  $(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$, $(B_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を同じ添字集合 $\Lambda$ をもつ集合系とする. このとき, \begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right) &= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cup B_{\lambda}) \\ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right) &= \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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