[q201108260930]  $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の有限次元計量ベクトル空間とするとき, $$ \{0\}^{\bot} = V,\quad V^{\bot} = \{0\} $$ となることを確かめよ. ただし, $\{0\}^{\bot}$, $V^{\bot}$ はそれぞれ $\{0\}$, $V$ の直交補空間とする.

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[q201108261000]  $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の有限次元計量ベクトル空間, $W_1$, $W_2$ を $V$ の部分空間, $W_1^{\bot}$, $W_2^{\bot}$ をそれぞれ $W_1$, $W_2$ の直交補空間とする. このとき, $$ W_1\subseteq W_2 \Longrightarrow W_2^{\bot}\subseteq W_1^{\bot} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201108261030]  $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の有限次元計量ベクトル空間, $W$ を $V$ の部分空間, $W^{\bot}$ を $W$ の直交補空間とする. このとき, $V$ は $W$ と $W^{\bot}$ との直和 $W\oplus W^{\bot}$ に一致することを証明せよ.

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[q201108261100]  $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の有限次元計量ベクトル空間, $W$ を $V$ の部分空間, $W^{\bot}$ を $W$ の直交補空間とする. このとき, $(W^{\bot})^{\bot}=W$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201108261130]  $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の有限次元計量ベクトル空間, $W_1$, $W_2$ を $V$ の部分空間, $W_1^{\bot}$, $W_2^{\bot}$ をそれぞれ $W_1$, $W_2$ の直交補空間とする. このとき, $$ (W_1+W_2)^{\bot} = W_1^{\bot}\cap W_2^{\bot},\quad (W_1\cap W_2)^{\bot} = W_1^{\bot} + W_2^{\bot} $$ が成り立つことを証明せよ.

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