[q201106251745]  $2$ つの点 $(a,c)$, $(b,d)$ について, $ad-bc\neq 0$ が成り立つとする. このとき, 点 $(a,c)$, $(b,d)$ をそれぞれ点 $(s,u)$, $(t,v)$ に移す $1$ 次変換を 表す行列 $A$ を求めよ.

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[q201106251800]  直線 $y=mx\,(m\neq 0)$ に関する対称移動は, 行列 $$ \frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix} $$ で表される $1$ 次変換であることを証明せよ.

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[q201106251815]  $\displaystyle A(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ とおく.

実数 $\alpha$, $\beta$ に対して, 次のことを証明せよ.

(i) $A(\alpha)A(\beta) = A(\alpha+\beta)$.

(ii) $A(\alpha)^{-1}=A(-\alpha)$.

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[q201106251830]  次のような形の分数関数 $f$ を $1$次分数関数という： $$ f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\quad (\mbox{$a$, $b$, $c$, $d$ は定数, $ad-bc\neq 0$}). $$ このような $f$ に対して, $$ A(f)=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}, \quad \varDelta(f) = ad-bc $$ とおく.

$2$ つの $1$ 次分数関数 $f$, $g$ に対して, 次のことを示せ.

(i) $A(f)A(g) = A(f\circ g)$.

(ii) $\displaystyle A(f)^{-1}=\frac{1}{\varDelta(f)}A(f^{-1})$.

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[q201106251845]  $E$ を単位行列, $J$ を $2$ 次正方行列とし, $J^2=-E$ であるとする.

複素数 $\alpha=a+b\sqrt{-1}$ ($a$, $b$ は実数) に対して, $$ A(\alpha) = aE+bJ $$ とおく.

(i) $A(0)=O$, $A(1)=E$ を示せ.

(ii) 複素数 $\alpha=a+b\sqrt{-1}$, $\beta=c+d\sqrt{-1}$ ($a$, $b$, $c$, $d$ は実数) に対して, 次のことを示せ.

(a) $A(\alpha)+A(\beta)=A(\alpha+\beta)$.

(b) $A(-\alpha)=-A(\alpha)$.

(c) $A(\alpha)A(\beta)=A(\alpha\beta)$.

(d) $\alpha\neq 0$ のとき, $\displaystyle A(\alpha)^{-1}=A\biggl(\frac{1}{\alpha}\biggr)$.

(e) $A(\alpha)=O$ ならば $\alpha=0$.

(f) $A(\alpha)=A(\beta)$ ならば $\alpha=\beta$.

(iii) $J^2=-E$ を満たす $2$ 次正方行列 $J$ の例を挙げよ.

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