Keywords: 余弦定理
$V$ を $\mathbb{R}$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. また, $\theta$ を $\bm{x}$ と $\bm{y}$ とのなす角とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} \lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + 2\lVert{\bm{x}}\rVert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert\cos\theta, \\ \lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 - 2\lVert{\bm{x}}\rVert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert\cos\theta \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$\theta$ の定め方より, \begin{equation} \cos\theta = \frac{(\bm{x}\mid\bm{y})}{\lVert{\bm{x}}\rVert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert}. \tag{1} \end{equation} 一方, $V$ は $\mathbb{R}$ 上の計量ベクトル空間だから, \begin{equation} \begin{split} (\bm{x}\mid\bm{y}) &= \frac{1}{2}(\lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 - \lVert{\bm{x}}\rVert^2 - \lVert{\bm{y}}\rVert^2 ) \\ &= -\frac{1}{2}(\lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 - \lVert{\bm{x}}\rVert^2 - \lVert{\bm{y}}\rVert^2 ) \end{split} \tag{2} \end{equation} が成り立つ. (1), (2) を合わせると, 求める等式が得られる.
最終更新日：2011年11月02日