Keywords: 直交補空間
Description: $W^{\bot}$ を $W$ の $V$ における直交補空間という.
$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の有限次元計量ベクトル空間, $W$ を $V$ の部分空間とする. このとき, $$ W^{\bot} = \{ x\in V \mid (x\mid y) = 0\,(\forall y\in W) \} $$ は $V$ の部分空間であることを証明せよ.
解答例 1
任意の $y\in W$ に対して, $(0\mid y)=0$. ゆえに, $0\in W^{\bot}$. したがって, $W^{\bot}\neq\emptyset$.
$x$, $x'\in W^{\bot}$ とする. 任意の $y\in W$ に対して, $(x \mid y) = (x' \mid y) = 0$ であるから, $$ (x + x' \mid y) = (x \mid y) + (x' \mid y) = 0. $$ ゆえに, $x+x'\in W^{\bot}$.
$x\in W^{\bot}$, $a\in K$ とする. 任意の $y\in W$ に対して, $(x \mid y)=0$ であるから, \begin{align*} (ax \mid y) = a(x \mid y) = 0. \end{align*} ゆえに, $ax\in W^{\bot}$.
以上より, $W^{\bot}$ が $V$ の部分空間であることが示された.
最終更新日：2011年11月02日