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[q201109260800] $V$ を $\mathbb{C}$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} \mathop{\mathrm{Re}}{(\bm{x}\mid\bm{y})} &= \frac{1}{2}(\lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 - \lVert{\bm{x}}\rVert^2 - \lVert{\bm{y}}\rVert^2) \\ &= \frac{1}{4}(\lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 - \lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2), \\ \mathop{\mathrm{Im}}{(\bm{x}\mid\bm{y})} &= \frac{1}{2}(\lVert{\bm{x}+\sqrt{-1}\bm{y}}\rVert^2 - \lVert{\bm{x}}\rVert^2 - \lVert{\bm{y}}\rVert^2 ) \\ &= \frac{1}{4}(\lVert{\bm{x}+\sqrt{-1}\bm{y}}\rVert^2 - \lVert{\bm{x}-\sqrt{-1}\bm{y}}\rVert^2 ) \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
[q201109260900] $V$ を $\mathbb{R}$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} (\bm{x}\mid\bm{y}) &= \frac{1}{2}(\lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 - \lVert{\bm{x}}\rVert^2 - \lVert{\bm{y}}\rVert^2 ) \\ &= -\frac{1}{2}(\lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 - \lVert{\bm{x}}\rVert^2 - \lVert{\bm{y}}\rVert^2 ) \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
[q201109261000] $V$ を $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. このとき, $$ \lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 = 2(\lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2) $$ が成り立つことを証明せよ.
Keywords: 中線定理
[q201109261030] $V$ を $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}$, $\bm{z}\in V$ とする. このとき, \begin{equation*} \begin{split} &\lVert{\bm{x}+\bm{y}+\bm{z}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}+\bm{y}-\bm{z}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}-\bm{y}+\bm{z}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}-\bm{y}-\bm{z}}\rVert^2 \\ &= 4(\lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + \lVert{\bm{z}}\rVert^2) \end{split} \end{equation*} が成り立つことを証明せよ.
[q201109261200] $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. $\bm{x}$ と $\bm{y}$ とが直交するならば, \begin{equation} \begin{split} \lVert{\bm{x} + \bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2, \\ \lVert{\bm{x} - \bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つ. このことを証明せよ.
Keywords: Pythagoras の定理, ピタゴラスの定理, 三平方の定理