解答例 1

$\bm{y}=\bm{0}$ とき, ($*$) において等式が成り立つことは明らかである. 以下, $\bm{y}\neq\bm{0}$ とする.

任意の $c\in K$ に対して, \begin{equation} \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lvert{c}\rvert^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + \overline{c}(\bm{x}\mid\bm{y}) + c\overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} \tag{1} \end{equation} が成り立つ. (1) において $c=-(\bm{x}\mid\bm{y})/\lVert\bm{y}\rVert^2$ を代入すると, \begin{align} 0 &\leq \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 \tag{2} \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \frac{\lvert{(\bm{x}\mid\bm{y})}\rvert^2}{\lVert{\bm{y}}\rVert^4}\lVert{\bm{y}}\rVert^2 - \frac{\overline{(\bm{x}\mid\bm{y})}}{\lVert{\bm{y}}\rVert^2}(\bm{x}\mid\bm{y}) - \frac{(\bm{x}\mid\bm{y})}{\lVert{\bm{y}}\rVert^2}\overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} \notag \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 - \frac{\lvert{(\bm{x}\mid\bm{y})}\rvert^2}{\lVert{\bm{y}}\rVert^2}. \notag \end{align} ゆえに, $$ \lvert{(\bm{x}\mid\bm{y})}\rvert^2\leq\lVert{\bm{x}}\rVert^2\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert^2. $$ $\lvert{(\bm{x}\mid\bm{y})}\rvert\geq 0$, $\lVert{\bm{x}}\rVert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert\geq 0$ であるから, $$ \lvert{(\bm{x}\mid\bm{y})}\rvert\leq\lVert{\bm{x}}\rVert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert $$ となる.

($*$) において等号が成り立つと仮定すれば, (2) において等号が成り立つから, $$ {\bm{x}+c\bm{y}} = \bm{0},\quad c=-\frac{(\bm{x}\mid\bm{y})}{\lVert\bm{y}\rVert^2}\in K $$ となる. 逆に, ある $c\in K$ が存在して $\bm{x}+c\bm{y}=\bm{0}$ が成り立つと仮定すれば, \begin{align*} \lvert{(\bm{x}\mid\bm{y})}\rvert &= \lvert{(-c\bm{y}\mid\bm{y})}\rvert = \lvert{-c(\bm{y}\mid\bm{y})}\rvert \\ &= \lvert{-c}\rvert\cdot\lvert{(\bm{y}\mid\bm{y})}\rvert = \lvert{-c}\rvert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert^2 \\ &= \lVert{-c\bm{y}}\rVert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert = \lVert{\bm{x}}\rVert\cdot\lVert{\bm{y}}\rVert \end{align*} となり, ($*$) において等号が成り立つ.

したがって, ($*$) において等号が成立するための必要十分条件は, $\bm{y}=\bm{0}$ であるか, または, ある $c\in K$ が存在して $\bm{x}+c\bm{y}=\bm{0}$ となることである.

最終更新日：2011年11月02日