解答例 1

任意の $c\in K$ に対して, \begin{equation} \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lvert{c}\rvert^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + \overline{c}(\bm{x}\mid\bm{y}) + c\overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} \tag{1} \end{equation} が成り立つ. (1) において $c=1$ を代入すれば, \begin{align} \lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + (\bm{x}\mid\bm{y}) + \overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} \notag \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + 2\mathop{\mathrm{Re}}{(\bm{x}\mid\bm{y})}. \tag{2} \end{align} これより, ($*$) の1行目・1番目の等式が得られる. さらに, (1) において $c=-1$ とおけば, \begin{align*} \lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 - (\bm{x}\mid\bm{y}) - \overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 - 2\mathop{\mathrm{Re}}{(\bm{x}\mid\bm{y})}. \end{align*} これを (2) から辺々引くと, ($*$) の1行目・2番目の等式が得られる.

また, (1) において $c=\sqrt{-1}$ を代入すれば, \begin{align} \lVert{\bm{x}+\sqrt{-1}\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 - \sqrt{-1}\left((\bm{x}\mid\bm{y}) - \overline{(\bm{x}\mid\bm{y})}\right) \notag \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + 2\mathop{\mathrm{Im}}{(\bm{x}\mid\bm{y})}. \tag{3} \end{align} これより, ($*$) の2行目の等式が得られる. さらに, (1) において $c=-\sqrt{-1}$ を代入すれば, \begin{align*} \lVert{\bm{x}-\sqrt{-1}\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + \sqrt{-1}\left((\bm{x}\mid\bm{y}) - \overline{(\bm{x}\mid\bm{y})}\right) \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 - 2\mathop{\mathrm{Im}}{(\bm{x}\mid\bm{y})}. \end{align*} これを (3) から辺々引くと, ($*$) の1行目・2番目の等式が得られる.

最終更新日：2011年11月02日