[q201106251630]  行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, $\det A=ad-bc$ とおく. $A$, $B$ を $2$ 次の正方行列とし, $A\neq O$, $B\neq O$ とする. このとき, $AB=O$ ならば $\det A=\det B=0$ であることを示せ.

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[q201106251645]  行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, $\det A=ad-bc$ とおく.

$A$, $B$ を $2$ 次の正方行列とする.

(i) $\det(AB)=\det A\det B$ を証明せよ.

(ii) $\det A\neq 0$ のとき, $\displaystyle \det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$ を証明せよ.

(iii) $\det(P^{-1}AP)=\det A$ を証明せよ. ただし, $P$ は $2$ 次の正方行列で, 逆行列 $P^{-1}$ をもつとする.

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[q201106251700]  行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, $\mathop{\mathrm{tr}}A=a+d$ とおく.

$A$, $B$ を $2$ 次の正方行列とする.

(i) $\mathop{\mathrm{tr}}(A+B)=\mathop{\mathrm{tr}}A+\mathop{\mathrm{tr}}B$ を証明せよ.

(ii) $\mathop{\mathrm{tr}}(kA)=k\cdot\mathop{\mathrm{tr}}A$ を証明せよ. ただし, $k$ は実数であるとする.

(iii) $\mathop{\mathrm{tr}}(AB)=\mathop{\mathrm{tr}}(BA)$ を証明せよ.

(iv) $\mathop{\mathrm{tr}}(P^{-1}AP)=\mathop{\mathrm{tr}}A$ を証明せよ. ただし, $P$ は $2$ 次の正方行列で, 逆行列 $P^{-1}$ をもつとする.

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[q201106251715]  行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, $\mathop{\mathrm{tr}} A=a+d$ とおく.

$2$ 次の正方行列 $A$ について, $\mathop{\mathrm{tr}} A=\mathop{\mathrm{tr}} A^2=0$ ならば $A=O$ であることを証明せよ.

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[q201106251730]  点 $(1,0)$, $(0,1)$ をそれぞれ点 $(a,c)$, $(b,d)$ に移す $1$ 次変換を表す行列 $A$ を求めよ.

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