$V$ を $\mathbb{R}$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} (\bm{x}\mid\bm{y}) &= \frac{1}{2}(\lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 - \lVert{\bm{x}}\rVert^2 - \lVert{\bm{y}}\rVert^2 ) \\ &= -\frac{1}{2}(\lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 - \lVert{\bm{x}}\rVert^2 - \lVert{\bm{y}}\rVert^2 ) \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$V$ は $\mathbb{R}$ 上の計量ベクトル空間だから, 任意の $c\in\mathbb{R}$ に対して, \begin{equation} \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + c^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + 2c(\bm{x}\mid\bm{y}) \tag{1} \end{equation} が成り立つ. (1) において $c=1$ を代入すれば, $$ \lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + 2(\bm{x}\mid\bm{y}). $$ これより, ($*$) の1番目の等式が得られる. また, (1) において $c=-1$ を代入すれば, $$ \lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 - 2(\bm{x}\mid\bm{y}). $$ これより, ($*$) の2番目の等式が得られる.
最終更新日：2011年11月02日