Keywords: 中線定理
$V$ を $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. このとき, $$ \lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 = 2(\lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
任意の $c\in K$ に対して, \begin{equation} \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lvert{c}\rvert^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + \overline{c}(\bm{x}\mid\bm{y}) + c\overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} \tag{1} \end{equation} が成り立つ. (1) において $c=1$ を代入すれば, \begin{align*} \lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + (\bm{x}\mid\bm{y}) + \overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + 2\mathop{\mathrm{Re}}{(\bm{x}\mid\bm{y})}. \end{align*} また, (1) において $c=-1$ を代入すれば, \begin{align*} \lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 - (\bm{x}\mid\bm{y}) - \overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 - 2\mathop{\mathrm{Re}}{(\bm{x}\mid\bm{y})}. \end{align*} 辺々加えれば, 求める等式が得られる.
最終更新日：2011年11月02日