Keywords: Pythagoras の定理, ピタゴラスの定理, 三平方の定理
$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$ とする. $\bm{x}$ と $\bm{y}$ とが直交するならば, \begin{equation} \begin{split} \lVert{\bm{x} + \bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2, \\ \lVert{\bm{x} - \bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つ. このことを証明せよ.
解答例 1
$\bm{x}$ と $\bm{y}$ とが直交すると仮定すれば, $$ (\bm{x}\mid \bm{y}) = (\bm{y}\mid \bm{x}) = 0. $$ ゆえに, \begin{align*} \lVert{\bm{x} + \bm{y}}\rVert^2 &= (\bm{x} + \bm{y}\mid \bm{x} + \bm{y}) \\ &= (\bm{x}\mid \bm{x}) + (\bm{x}\mid \bm{y}) + (\bm{y}\mid \bm{x}) + (\bm{y}\mid \bm{y}) \\ &= (\bm{x}\mid \bm{x}) + (\bm{y}\mid \bm{y}) \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2. \end{align*} したがって, ($*$) の1行目の式が成り立つ. さらに, その式において $\bm{y}$ に $-\bm{y}$ を代入すれば, \begin{align*} \lVert{\bm{x} - \bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{-\bm{y}}\rVert^2 \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2. \end{align*} したがって, ($*$) の2行目の式が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日