$V$ を $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}$, $\bm{z}\in V$ とする. このとき, \begin{equation*} \begin{split} &\lVert{\bm{x}+\bm{y}+\bm{z}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}+\bm{y}-\bm{z}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}-\bm{y}+\bm{z}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}-\bm{y}-\bm{z}}\rVert^2 \\ &= 4(\lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2 + \lVert{\bm{z}}\rVert^2) \end{split} \end{equation*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
中線定理により, \begin{align} & \lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 = 2(\lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lVert{\bm{y}}\rVert^2), \tag{1} \\ & \lVert{\bm{x}+\bm{y}+\bm{z}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}+\bm{y}-\bm{z}}\rVert^2 = 2(\lVert{\bm{x}+\bm{y}}\rVert^2 + \lVert{\bm{z}}\rVert^2), \tag{2} \\ & \lVert{\bm{x}-\bm{y}+\bm{z}}\rVert^2 + \lVert{\bm{x}-\bm{y}-\bm{z}}\rVert^2 = 2(\lVert{\bm{x}-\bm{y}}\rVert^2 + \lVert{\bm{z}}\rVert^2). \tag{3} \end{align} (2), (3) を辺々加えたのち, (1) を用いれば, 求める等式が得られる.
最終更新日：2011年11月02日