[q201109012100]  相似な正方行列の最小多項式は一致することを証明せよ.

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[q201109012200]  $K$ を体とし, $A$を $K$ 上の正方行列, $\gamma_A(t)$ を $A$ の固有多項式, $\mu_A(t)$ を $A$ の最小多項式とする. このとき, 任意の $a\in K$ に対して, $$ \mu_A(a)=0 \Longleftrightarrow \gamma_A(a)=0 $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109012300]  $A$ を $n$ 次正方行列とするとき, ある正の整数 $m$ が存在して $A^m=E$ が成り立つならば, $A$ は対角化可能であることを証明せよ.

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[q201110130700]  計量ベクトル空間の定義を述べよ.

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[q201109260700]  $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$, $c\in K$ とする. このとき, $$ \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lvert{c}\rvert^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + \overline{c}(\bm{x}\mid\bm{y}) + c\overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} $$ が成り立つ. さらに, $K=\mathbb{R}$ のとき, $$ \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + c^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + 2c(\bm{x}\mid\bm{y}) $$ が成り立つ. このことを証明せよ.

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