解答例 1

$A$ を正方行列, $P$ を正則行列とし, $\mu_A(t)$ を $A$ の最小多項式とする.

$\mu_A(A)=O$ ならば, $$ \mu_A(P^{-1}AP) = P^{-1}\mu_A(A)P = O. $$ ゆえに, $P^{-1}AP$ の最小多項式は $\mu_A(t)$ を割る. 逆に, $A=P(P^{-1}AP)P^{-1}$ であるから, 同様の議論により, $\mu_A(t)$ が $P^{-1}AP$ の最小多項式を割ることもいえる. 最高次係数はどちらも $1$ であるから, 両者は一致する.

最終更新日：2011年11月02日