$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の計量ベクトル空間, $\bm{x}$, $\bm{y}\in V$, $c\in K$ とする. このとき, $$ \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lvert{c}\rvert^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + \overline{c}(\bm{x}\mid\bm{y}) + c\overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} $$ が成り立つ. さらに, $K=\mathbb{R}$ のとき, $$ \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + c^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + 2c(\bm{x}\mid\bm{y}) $$ が成り立つ. このことを証明せよ.
解答例 1
まず, \begin{align*} \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 & = (\bm{x}+c\bm{y}\mid \bm{x}+c\bm{y}) \\ & = (\bm{x}\mid \bm{x}+c\bm{y}) + (c\bm{y}\mid \bm{x}+c\bm{y}) \\ & = (\bm{x}\mid \bm{x}) + \overline{c}(\bm{x}\mid\bm{y}) + c(\bm{y}\mid\bm{x}) + \lvert{c}\rvert^2(\bm{y}\mid \bm{y}) \\ & = \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + \lvert{c}\rvert^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + \overline{c}(\bm{x}\mid\bm{y}) + c\overline{(\bm{x}\mid\bm{y})}. \end{align*} さらに, $K=\mathbb{R}$ のとき, $c\in\mathbb{R}$, $(\bm{x}\mid\bm{y})\in\mathbb{R}$ であるから, $$ \overline{(\bm{x}\mid\bm{y})} = (\bm{x}\mid\bm{y}),\quad \overline{c}=c,\quad \lvert c\rvert^2 = c^2. $$ ゆえに, \begin{align*} \lVert{\bm{x}+c\bm{y}}\rVert^2 &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + c^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + c(\bm{x}\mid\bm{y}) + c(\bm{x}\mid\bm{y}) \\ &= \lVert{\bm{x}}\rVert^2 + c^2\lVert{\bm{y}}\rVert^2 + 2c(\bm{x}\mid\bm{y}) \end{align*} となる.
最終更新日：2011年11月02日