$K$ を体とし, $A$を $K$ 上の正方行列, $\gamma_A(t)$ を $A$ の固有多項式, $\mu_A(t)$ を $A$ の最小多項式とする. このとき, 任意の $a\in K$ に対して, $$ \mu_A(a)=0 \Longleftrightarrow \gamma_A(a)=0 $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
($\Rightarrow$) $\mu_A(a)=0$ と仮定する. Hamilton-Cayley の定理により $\gamma_A(A)=O$ であるから, $\mu_A(t)$ は $K[t]$ において $\gamma_A(t)$ を割る. すなわち, ある $g(t)\in K[t]$ が存在して, $$ \gamma_A(t)=\mu_A(t)g(t). $$ ゆえに, $$ \gamma_A(a) = \mu_A(a)g(a) = 0. $$
($\Leftarrow$) $\gamma_A(a)=0$ と仮定する. $a$ は $A$ の固有値だから, $a$ に属する固有ベクトル $\bm{p}\in K^n$ が存在して, $$ A\bm{p} = a\bm{p},\quad \bm{p}\neq\bm{0}. $$ $\mu_A(t)$ は多項式だから, 1番目の等式より, $$ \mu_A(A)\bm{p} = \mu_A(a)\bm{p}. $$ $\mu_A(A)=O$ と $\bm{p}\neq\bm{0}$ から, $\mu_A(a)=0$ が得られる.
最終更新日：2011年11月02日