[q201109011600]  $A\neq O$ なる冪零行列 $A$ は対角化可能ではないことを証明せよ.

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[q201109011700]  $A$ を正方行列とし, $A$ の固有多項式の根は $0$ のみであるとする. このとき, $A^n=O$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201108262300]  $K$ を体, $M_n(K)$ を $K$ 上の $n$ 次正方行列全体とし, $A\in M_n(K)$ とする. また, $\gamma_A(x)=\det(xE-A)\in K[x]$ を $A$ の固有多項式とし, \begin{equation} \gamma_A(x) = x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0,\quad c_i\in K \tag{$*$} \end{equation} とおく. さらに, \begin{equation} \gamma_A(A) = A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0E \tag{$*$$*$} \end{equation} によって $\gamma_A(A)\in M_n(K)$ を定める. このとき, $\gamma_A(A) = O$ が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Hamilton-Cayley の定理, ハミルトン・ケイリーの定理

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[q201107071300]  $K$ を体とし, $A$ を $K$ 上の正方行列とする. このとき, $A$ の最小多項式の定義を述べよ.

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[q201107071315]  体 $K$ 上の行列 $$ A = \begin{bmatrix} a & \\ & b \end{bmatrix} $$ の最小多項式を求めよ.

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