[q201106241845]  $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ を $2$ 次の実正方行列とし, $E$ を単位行列とする. このとき, 任意の $2$ 次正方行列 $X$ に対して $AX=XA$ が成り立つための必要十分条件は $A=aE$ が成り立つことである. このことを証明せよ.

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[q201106241900]  $a$, $b$, $c$, $d$ を実数とし, $b\neq 0$ または $c\neq 0$ とする. このとき, 行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix}$ と可換な $2$ 次の実正方行列をすべて求めよ.

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[q201106241915]  $a$, $b$, $c$, $d$ を実数とし, $a\neq d$ とする. このとき, 行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と可換な $2$ 次の実正方行列をすべて求めよ.

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[q201106241930]  行列 $\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, 等式 $$ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O $$ が成り立つことを確かめよ.

Keywords: Hamilton-Cayley の定理, ハミルトン・ケイリーの定理

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[q201106241945]  実行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ について, $A\neq O$, $A^2=O$ であるとする.

(i) $ad-bc=0$ であることを証明せよ.

(ii) $a+d=0$ であることを証明せよ.

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