解答例 1

$A$ の固有多項式の根は $0$ のみであるから, 適当な正則行列 $U$ によって, $$ U^{-1}AU = \begin{bmatrix} 0 & * & * & * \\ & 0 & * & * \\ & & \ddots & * \\ & & & 0 \end{bmatrix} $$ のように三角化できる. 右辺の三角行列を $D$ とおくと, $D^n=O$ が成り立つ. よって, $$ A^n = (UDU^{-1})^n = U^{-1}D^nU = O. $$

解答例 2

$A$ が $n$ 次正方行列であるとき, $A$ の固有多項式は $t^n$ である. Hamilton-Cayley の定理により, $A^n = O$ が成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日