解答例 1

$B(x)=xE-A$ とおく. $\gamma_A(x)=\det B(x)$ であるから, $B(x)$ の余因子行列を $\widetilde{B}(x)$ とすると, \begin{equation} B(x)\widetilde{B}(x) = \gamma_A(x)E. \tag{1} \end{equation} $\widetilde{B}(x)$の各成分は, 余因子である (すなわち, $\widetilde{B}(x)$ の $(i, j)$-成分は, $B(x)$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いた $n-1$ 次の正方行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたものである) から, $x$ の高々 $n-1$ 次の多項式である. よって, $x$ の冪に関して整理すると, ある $B_0$, $B_1$, $\ldots$, $B_{n-1}\in M_n(K)$ が存在して, $$ \widetilde{B}(x) = x^{n-1}B_{n-1}+x^{n-2}B_{n-2}+\cdots+xB_1+B_0 $$ と書ける. これを式 (1) に代入すると, $$ (xE-A)(x^{n-1}B_{n-1}+x^{n-2}B_{n-2}+\cdots+xB_1+B_0) = \gamma_A(x)E. $$ 左辺を展開すると, $$ x^nB_{n-1}+x^{n-1}(B_{n-2}-AB_{n-1}) + \cdots + x(B_0-AB_1)-AB_0 = \gamma_A(x)E. $$ さらに, 式 ($*$) を代入して整理すると, \begin{align} &x^n(E-B_{n-1})+x^{n-1}\bigl(c_{n-1}E-(B_{n-2}-AB_{n-1})\bigr) \notag \\ &\qquad + \cdots + x\bigl(c_1E-(B_0-AB_1)\bigr)+(c_0E+AB_0)=O. \tag{2} \end{align}

一般に, 任意の $C_0$, $C_1$, $\ldots$, $C_r\in M_n(K)$ に対して, \begin{align*} &x^rC_r+x^{r-1}C_{r-1}+\cdots+xC_1+C_0 = O \\ &\qquad \Longrightarrow C_0=C_1=\cdots=C_{r-1}=C_r=O. \end{align*} なぜなら, $C_k = (c_{ij}^{(k)})$ ($k=0$, $1$, $\ldots$, $r$) とおき, $x^rC_r+x^{r-1}C_{r-1}+\cdots+xC_1+C_0 = O$ とすると, 各 $(i, j)$ 成分について, $$ c_{ij}^{(r)}x^r+c_{ij}^{(r-1)}x^{r-1}+\cdots+c_{ij}^{(1)}x+c_{ij}^{(0)}=0. $$ このとき, $c_{ij}^{(r)}=c_{ij}^{(r-1)}=\cdots=c_{ij}^{(1)}=c_{ij}^{(0)}=0$.

したがって, 式 (2) より, \begin{align*} B_{n-1} &= E, \\ B_{n-2}-AB_{n-1} &= c_{n-1}E, \\ \cdots\cdots & \\ B_0-AB_1 &= c_1E, \\ -AB_0 &= c_0E \end{align*} が得られる. よって, \begin{align*} \gamma_A(A) &= A^n+c_{n-1}A^{n-1}+c_{n-2}A^{n-2}+\cdots+c_1A+c_0E \\ &= A^nB_{n-1} + A^{n-1}(B_{n-2}-AB_{n-1}) + \cdots + A(B_0-AB_1) - AB_0 \\ &= A^nB_{n-1} + (A^{n-1}B_{n-2}-A^nB_{n-1}) + \cdots + (AB_0-A^2B_1) - AB_0 \\ &= (A-A)(A^{n-1}B_{n-1}+A^{n-2}B_{n-2}+\cdots+AB_1+B_0) \\ &= O. \end{align*}

解答例 2

$\overline{K}$ を $K$ の代数的閉包とする. $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\ldots$, $\alpha_n\in\overline{K}$ を $\gamma_A(x)$ のすべての根とすると, $\overline{K}[x]$ において $$ \gamma_A(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots (x-\alpha_n) $$ と1次式の積に分解する. この右辺を展開して ($*$) の右辺と係数を比較すると, 各 $c_i$ は $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\ldots$, $\alpha_n$ の基本対称式になる: \begin{align*} c_{n-1} &= \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n, \\ c_{n-2} &= \alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\cdots+\alpha_{n-1}\alpha_n, \\ & \cdots\cdots \\ c_{n-k} &= \sum_{i_1<i_2<\cdots<i_k}\alpha_{i_1}\alpha_{i_2}\cdots\alpha_{i_k}, \\ & \cdots\cdots \\ c_0 &= \alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n. \end{align*} これを ($*$$*$) に代入すると, その右辺は $(A-\alpha_1E)(A-\alpha_2E)\cdots (A-\alpha_nE)$ を展開した式に一致する. したがって, \begin{equation} \gamma_A(A) = (A-\alpha_1E)(A-\alpha_2E)\cdots (A-\alpha_nE) \tag{1} \end{equation} が得られる.

一方, $\gamma_A(x)$ は $\overline{K}$ 上においても $A$ の固有多項式であり, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\ldots$, $\alpha_n$ は $\overline{K}$ 上での $A$ の固有値である. したがって, ある正則行列 $P\in M_n(\overline{K})$が存在して, $P^{-1}AP$ は $A$ の固有値を対角成分とする上三角行列になる: \begin{equation} P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \alpha_1 & * & * & * \\ & \alpha_2 & * & * \\ & & \ddots& * \\ & & & \alpha_n \\ \end{pmatrix} \in M_n(\overline{K}). \tag{2} \end{equation} $P$ を列ベクトルによって表示する: $P=(\bm{p}_1\;\bm{p}_2\;\cdots\;\bm{p}_n)$. そうすると, (2) より, \begin{align} (A\bm{p}_1\;A\bm{p}_2\;\cdots\;A\bm{p}_n) &= A(\bm{p}_1\;\bm{p}_2\;\cdots\;\bm{p}_n) \notag \\ &= (\bm{p}_1\;\bm{p}_2\;\cdots\;\bm{p}_n) \begin{pmatrix} \alpha_1 & * & * & * \\ & \alpha_2 & * & * \\ & & \ddots& * \\ & & & \alpha_n \\ \end{pmatrix}. \tag{3} \end{align} $i=1$, $2$, $\ldots$, $n$ に対して, $W_i=\overline{K}\bm{p}_1+\overline{K}\bm{p}_2+\cdots+\overline{K}\bm{p}_i$ とおく. また, $W_0=\{\bm{0}\}$ とおく. $P$ は正則なので, $\bm{p}_1$, $\bm{p}_2$, $\ldots$, $\bm{p}_n$ は $\overline{K}$ 上1次独立である. よって, $$ \{\bm{0}\} = W_0\subsetneq W_1\subsetneq\cdots\subsetneq W_n=\overline{K}^n. $$ 式 (3) より, $i=1$, $2$, $\ldots$, $n$ に対して, ある $\bm{v}_{i-1}\in W_{i-1}$ が存在して, \begin{equation} \label{eq:001_00060} A\bm{p}_i = \alpha_i\bm{p}_i + \bm{v}_{i-1} \in W_i. \tag{4} \end{equation} これより, \begin{equation} \label{eq:001_00070} (A-\alpha_iE)\bm{p}_i = A\bm{p}_i - \alpha_i\bm{p}_i = \bm{v}_{i-1} \in W_{i-1}. \tag{5} \end{equation} ゆえに, 任意の $\bm{w}_i\in W_i$ に対して, $$ \bm{w}_i = b_1\bm{p}_1+b_2\bm{p}_2+\cdots+b_i\bm{p}_i,\quad b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_i\in\overline{K} $$ とおくと, (4), (5) より, \begin{align*} (A-\alpha_iE)\bm{w}_i &= (A-\alpha_iE)(b_1\bm{p}_1+b_2\bm{p}_2+\cdots+b_i\bm{p}_i) \\ &= (A-\alpha_iE)(b_1\bm{p}_1+b_2\bm{p}_2+\cdots+b_{i-1}\bm{p}_{i-1})+(A-\alpha_iE)b_i\bm{p}_i \\ &= A(b_1\bm{p}_1+b_2\bm{p}_2+\cdots+b_{i-1}\bm{p}_{i-1}) \\ &\qquad -\alpha_iE(b_1\bm{p}_1+b_2\bm{p}_2+\cdots+b_{i-1}\bm{p}_{i-1})+(A-\alpha_iE)b_i\bm{p}_i \\ &= (b_1A\bm{p}_1+b_2A\bm{p}_2+\cdots+b_{i-1}A\bm{p}_{i-1}) \\ &\qquad-(\alpha_ib_1\bm{p}_1+\alpha_ib_2\bm{p}_2+\cdots+\alpha_ib_{i-1}\bm{p}_{i-1}) + b_i(A-\alpha_iE)\bm{p}_i \\ &\in (W_1+W_2+\cdots+W_{i-1})+W_{i-1}+W_{i-1} \subseteq W_{i-1}. \end{align*} したがって, 任意の $\bm{x}\in\overline{K}^n=W_n$ に対して, \begin{align*} (A-\alpha_nE)\bm{x} &\in W_{n-1}, \\ (A-\alpha_{n-1}E)(A-\alpha_nE)\bm{x} &\in W_{n-2}, \\ \cdots\cdots & \\ (A-\alpha_1E)\cdots(A-\alpha_{n-1}E)(A-\alpha_nE)\bm{x} &\in W_{0}=\{\bm{0}\}. \end{align*}

式 (1) と合わせれば, 任意の $\bm{x}\in\overline{K}^n$ に対して, $\gamma_A(A)\bm{x}=\bm{0}$. 特に, $$ \bm{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\quad \bm{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\quad \cdots,\quad \bm{e}_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $$ とおくと, $i=1$, $2$, $\ldots$, $n$ に対して $\gamma_A(A)\bm{e}_i=\bm{0}$ が成り立つから, \begin{align*} \gamma_A(A) & = \gamma_A(A)E = \gamma_A(A)(\bm{e}_1\;\bm{e}_2\;\cdots\;\bm{e}_n) \\ &= (\gamma_A(A)\bm{e}_1\;\gamma_A(A)\bm{e}_2\;\cdots\;\gamma_A(A)\bm{e}_n) \\ &= (\bm{0}\;\bm{0}\;\cdots\;\bm{0}) = O. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日