[q201109011100]  $A$ を $\mathbb{C}$ 上の $n$ 次正方行列とし, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ を $A$ の固有多項式のすべての根とする. また, $A^{*}$ を $A$ の随伴行列とする. このとき, $A^{*}$ の固有多項式のすべての根は $\overline{\lambda_1}$, $\overline{\lambda_2}$, $\ldots$, $\overline{\lambda_n}$ であることを証明せよ.

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[q201109011200]  $A$ を $n$ 次正方行列とし, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ を $A$ の固有多項式のすべての根とする. このとき, $A^{-1}$ の固有多項式のすべての根は $\lambda_1^{-1}$, $\lambda_2^{-1}$, $\ldots$, $\lambda_n^{-1}$ であることを証明せよ.

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[q201109011300]  $K$ を体とする. $A$ を $K$ 上の $n$ 次正方行列とし, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ を $A$ の固有多項式のすべての根とする. このとき, 任意の $f(x)\in K[x]$ に対して, $f(A)$ の固有多項式のすべての根は $f(\lambda_1)$, $f(\lambda_2)$, $\ldots$, $f(\lambda_n)$ であることを証明せよ.

Keywords: Frobenius の定理, フロベニウスの定理

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[q201109011400]  冪等行列の固有値は $0$ または $1$ であることを証明せよ.

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[q201109011500]  冪零行列の固有値は $0$ のみであることを証明せよ.

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