[q201106241730]  $A=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\,(a\neq c)$ とする. また, 自然数 $n$ に対して $\displaystyle b_n=b\cdot \frac{a^n-c^n}{a-c}$ とおく.

(i) すべての自然数 $n$ に対して $$ b_{n+1} = a^nb+b_nc = ab_n+c^nb $$ が成り立つことを証明せよ.

(ii) すべての自然数 $n$ に対して \begin{equation} A^n=\begin{pmatrix} a^n & b_n \\ 0 & c^n \end{pmatrix} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201106241745]  $n$ を自然数とし, $A=\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ とする. このとき, \begin{equation} A^n=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} (a+b)^n+(a-b)^n & (a+b)^n-(a-b)^n \\ (a+b)^n-(a-b)^n & (a+b)^n+(a-b)^n \end{pmatrix} \tag{$*$} \end{equation} であることを証明せよ.

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[q201106241800]  $A=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ とする. また, 自然数 $n$ に対して, \begin{equation*} \begin{split} a_n &= \frac{1}{2}\bigl((a+b\sqrt{-1})^n+(a-b\sqrt{-1})^n \bigr), \\ b_n &= -\frac{\sqrt{-1}}{2}\bigl( (a+b\sqrt{-1})^n-(a-b\sqrt{-1})^n \bigr) \end{split} \end{equation*} とおく. このとき, \begin{equation} A^n=\begin{pmatrix} a_n & -b_n \\ b_n & a_n \end{pmatrix} \tag{$*$} \end{equation} であることを証明せよ.

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[q201106241815]  $2$次正方行列 $A$, $B$ に対して $[A,B]=AB-BA$ と定める. このとき, 任意の $2$ 次正方行列 $A$, $B$, $C$ に対して $$ [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[A,[B,C]]=O $$ が成り立つことを確かめよ.

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[q201106241830]  $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$とおく. $2$ 次正方行列 $B$ が $AB=BA$ を満たすとき, $B$ は対角行列であることを証明せよ.

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