$A$ を $n$ 次正方行列とし, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ を $A$ の固有多項式のすべての根とする. このとき, $A^{-1}$ の固有多項式のすべての根は $\lambda_1^{-1}$, $\lambda_2^{-1}$, $\ldots$, $\lambda_n^{-1}$ であることを証明せよ.
解答例 1
$\det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$ であるから, \begin{align*} \det A^{-1} &= (\det A)^{-1} = (\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n)^{-1} \\ &= \lambda_n^{-1}\cdots\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}. \end{align*} よって, \begin{align*} \det(tE-A^{-1}) &= \det(-t(t^{-1}E-A)A^{-1}) \\ &= (-t)^n\det(t^{-1}E-A)\det A^{-1} \\ &= (-t)^n(t^{-1}-\lambda_1)(t^{-1}-\lambda_2)\cdots(t^{-1}-\lambda_n) \\ &\qquad \times\lambda_n^{-1}\cdots\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1} \\ &= (t - \lambda_1^{-1})(t - \lambda_2^{-1})\cdots (t - \lambda_n^{-1}). \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日