解答例 1

$\overline{K}$ を $K$ の代数的閉包とする. $A$ の固有多項式は $\overline{K}$ で一次式の積に分解するから, 適当な $\overline{K}$ 上の正則行列 $U$ により $$ U^{-1}AU = \begin{bmatrix} \lambda_1 & * & * & * \\ & \lambda_2 & * & * \\ & & \ddots & * \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$ と三角化できる. このとき, 任意の整数 $k\geq 1$ に対し \begin{align*} U^{-1}A^kU &= (U^{-1}AU)^k \\ &= \begin{bmatrix} \lambda_1^k & * & * & * \\ & \lambda_2^k & * & * \\ & & \ddots & * \\ & & & \lambda_n^k \end{bmatrix} \end{align*} が成り立つから, \begin{align*} U^{-1}f(A)U &= f(U^{-1}AU) \\ &= \begin{bmatrix} f(\lambda_1) & * & * & * \\ & f(\lambda_2) & * & * \\ & & \ddots & * \\ & & & f(\lambda_n) \end{bmatrix} \end{align*} となる. ゆえに, \begin{align*} \det\bigl(tE-f(A)\bigr) & = \det\bigl(tE-U^{-1}f(A)U\bigr) \\ & = \det\begin{bmatrix} t - f(\lambda_1) & * & * & * \\ & t - f(\lambda_2) & * & * \\ & & \ddots & * \\ & & & t - f(\lambda_n) \end{bmatrix} \\ & = \prod_{i=1}^n\bigl(t-f(\lambda_i)\bigr). \end{align*} すなわち, $f(\lambda_1)$, $f(\lambda_2)$, $\ldots$, $f(\lambda_n)$ は $f(A)$ の固有多項式の根である.

最終更新日：2011年11月02日