解答例 1

$\lambda$ を冪等行列 $A$ の固有値とする.

$A$ が冪等行列であることより, $A^2=A$ となる. また, $\bm{p}$ を $\lambda$ に属する $A$ の固有ベクトルとすると, $$ A\bm{p} = \lambda\bm{p},\quad \bm{p}\neq\bm{0}. $$ $1$ 番目の等式より, $$ A^2\bm{p} = \lambda^2\bm{p}. $$ ゆえに, $$ \lambda^2\bm{p} = A^2\bm{p} = A\bm{p} = \lambda\bm{p}. $$ よって, $$ \lambda(\lambda-1)\bm{p} = (\lambda^2-\lambda)\bm{p} = \bm{0}. $$ $\bm{p}\neq\bm{0}$ より, $\lambda(\lambda-1)=0$. したがって, $\lambda=0$ または $1$.

最終更新日：2011年11月02日