解答例 1

$\lambda$ を冪零行列 $A$ の固有値とする.

$A$ が冪零行列であることより, ある整数 $k>0$ が存在して, $A^k=O$ となる. また, $\bm{p}$ を $\lambda$ に属する $A$ の固有ベクトルとすると, $$ A\bm{p} = \lambda\bm{p},\quad \bm{p}\neq\bm{0}. $$ $1$ 番目の等式より, $$ A^k\bm{p} = \lambda^k\bm{p}. $$ ゆえに, $$ \lambda^k\bm{p} = A^k\bm{p} = O\bm{p} = \bm{0}. $$ $\bm{p}\neq\bm{0}$ より, $\lambda^k=0$. したがって, $\lambda=0$.

最終更新日：2011年11月02日