[q201109010600]  $A$ を $\mathbb{C}$ 上の $n$ 次正方行列とし, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ を $A$ のすべての固有値とする. このとき, $$ \mathop{\mathrm{tr}}A=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n,\quad \det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109010700]  $K$ を体とする. $A$ を $K$ 上の正方行列, $\lambda\in K$ を $A$ の固有値とする. このとき, 任意の多項式 $f(x)\in K[x]$ に対して, $f(\lambda)$ は $f(A)$ の固有値であることを証明せよ.

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[q201109010800]  正方行列 $A$ の転置行列の固有多項式は, もとの行列 $A$ の固有多項式に一致することを証明せよ.

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[q201109010900]  相似な正方行列の固有多項式は一致することを証明せよ.

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[q201109011000]  $A$ を $\mathbb{C}$ 上の $n$ 次正方行列とし, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ を $A$ の固有多項式のすべての根とする. また, $\overline{A}$ を $A$ の複素共役行列とする. このとき, $\overline{A}$ の固有多項式のすべての根は $\overline{\lambda_1}$, $\overline{\lambda_2}$, $\ldots$, $\overline{\lambda_n}$ であることを証明せよ.

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