$A$ を $\mathbb{C}$ 上の $n$ 次正方行列とし, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ を $A$ の固有多項式のすべての根とする. また, $A^{*}$ を $A$ の随伴行列とする. このとき, $A^{*}$ の固有多項式のすべての根は $\overline{\lambda_1}$, $\overline{\lambda_2}$, $\ldots$, $\overline{\lambda_n}$ であることを証明せよ.
解答例 1
$A$ の転置行列 ${}^t\!A$ の固有多項式は, $A$ の固有多項式に一致する. ゆえに, ${}^t\!A$ の固有多項式のすべての根は $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ である. $A^{*}$ は ${}^t\!A$ の複素共役行列であるから, その固有多項式のすべての根は $\overline{\lambda_1}$, $\overline{\lambda_2}$, $\ldots$, $\overline{\lambda_n}$ である.
最終更新日：2011年11月02日