解答例 1

$\mathbb{C}$ 上において, $A$ の固有多項式の根はすべて $A$ の固有値であるから, \begin{equation} \det(tE-A) = (t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\cdots(t-\lambda_n). \tag{1} \end{equation}

(1) より, $t^{n-1}$ の係数は $-(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)$ である. 一方, $A=[a_{ij}]$ とおくと, $A$ の固有多項式 $$ \det(tE-A) = \det\begin{bmatrix} t-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & t-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & t-a_{nn} \end{bmatrix} $$ を展開したとき, 対角成分の積 $$ (t-a_{11})(t-a_{22})\cdots(t-a_{nn}) $$ 以外の項からは $t^{n-1}$ は現れない. したがって, $t^{n-1}$ の係数は $$ -(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}) = -\mathop{\mathrm{tr}}A $$ でもある. ゆえに, $\mathop{\mathrm{tr}}A = \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$ となる.

(1) において $t=0$ を代入すれば, $$ (-1)^n\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = \det(-A) = (-1)^n\det A. $$ ゆえに, $\det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$.

最終更新日：2011年11月02日