解答例 1

$\displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^m c_ix^i$ ($c_i\in K$) とおく. $\bm{p}$ を $\lambda$ に属する $A$ の固有ベクトルとすると, $$ A\bm{p} = \lambda\bm{p},\quad \bm{p}\neq\bm{0}. $$ $1$ 番目の等式より, 任意の整数 $k\geq 1$ に対して, \begin{align*} A^k\bm{p} &= A^{k-1}(\lambda\bm{p}) = \lambda A^{k-1}\bm{p} \\ &= \lambda A^{k-2}(\lambda\bm{p}) = \lambda^2A^{k-2}\bm{p} \\ &= \cdots\cdots \\ &= \lambda^{k-1}A\bm{p} = \lambda^k\bm{p}. \end{align*} よって, $i=0$, $1$, $2$, $\ldots$, $m$ に対して, $$ c_iA^i\bm{p} = c_i\lambda^i\bm{p}. $$ ゆえに, $$ f(A)\bm{p} = \sum_{i=0}^mc_iA^i\bm{p} = \sum_{i=0}^mc_i\lambda^i\bm{p} = f(\lambda)\bm{p}. $$ したがって, $f(\lambda)$ は $f(A)$ の固有値である.

最終更新日：2011年11月02日