[q201110091800]  $s$ を複素数とする. 素数を小さい方から大きさの順に並べて $$ \begin{array}{cccc} p_1=2, & p_2=3, & p_3=5, & \ldots \end{array} $$ とおくことにより, 素数の列 $(p_n)$ を定める. このとき, 無限積 $$ \prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}^{-1} $$ は $\mathop{\mathrm{Re}}{s}>1$ のとき絶対収束することを証明せよ.

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[q201108181500]  $n$ を正の整数とし, $\alpha\in\mathbb{C}$ とする. このとき, 複素線積分 $$ \int_{C}\frac{1}{(z-\alpha)^n}\,dz $$ を計算せよ. ただし, $C$ は $\alpha$ を中心とする円周で, 反時計回りの向きを付けたものとする.

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[q201106241645]  $A=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ とするとき, すべての自然数 $n$ に対して \begin{equation} A^n = \begin{pmatrix} a^n & na^{n-1} \\ 0 & a^n \end{pmatrix} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201106241700]  $A=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$ とするとき, すべての自然数 $n$ に対して \begin{equation} A^n=\begin{pmatrix} a^n & na^{n-1}b \\ 0 & a^n \end{pmatrix} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201106241715]  $A=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & c \end{pmatrix}\,(a\neq c)$ とする. また, 自然数 $n$ に対して $\displaystyle b_n=\frac{a^n-c^n}{a-c}$ とおく.

(i) すべての自然数 $n$ に対して $$ b_{n+1} = a^n+b_nc = ab_n+c^n $$ が成り立つことを証明せよ.

(ii) すべての自然数 $n$ に対して \begin{equation} A^n=\begin{pmatrix} a^n & b_n \\ 0 & c^n \end{pmatrix} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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