$A$ を $\mathbb{C}$ 上の $n$ 次正方行列とし, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\ldots$, $\lambda_n$ を $A$ の固有多項式のすべての根とする. また, $\overline{A}$ を $A$ の複素共役行列とする. このとき, $\overline{A}$ の固有多項式のすべての根は $\overline{\lambda_1}$, $\overline{\lambda_2}$, $\ldots$, $\overline{\lambda_n}$ であることを証明せよ.
解答例 1
適当な $\mathbb{C}$ 上の正則行列 $U$ により $$ U^{-1}AU = \begin{bmatrix} \lambda_1 & * & * & * \\ & \lambda_2 & * & * \\ & & \ddots & * \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$ と三角化することができ, \begin{align*} \overline{U}^{-1}\,\overline{A}\,\overline{U} &= \overline{U^{-1}AU} \\ &= \begin{bmatrix} \overline{\lambda_1} & * & * & * \\ & \overline{\lambda_2} & * & * \\ & & \ddots & * \\ & & & \overline{\lambda_n} \end{bmatrix} \end{align*} であるから, \begin{align*} \det(tE-\overline{A}) &= \det(tE-U_1^{-1}\overline{A}U_1) \\ &= \begin{bmatrix} t-\overline{\lambda_1} & * & * & * \\ & t-\overline{\lambda_2} & * & * \\ & & \ddots & * \\ & & & t-\overline{\lambda_n} \end{bmatrix} \\ &= (t-\overline{\lambda_1})(t-\overline{\lambda_2})\cdots (t-\overline{\lambda_n}). \end{align*} ゆえに, $\overline{\lambda_1}$, $\overline{\lambda_2}$, $\ldots$, $\overline{\lambda_n}$ は $\overline{A}$ の固有多項式のすべての根である.
最終更新日：2011年11月02日