[q201108301900]  $A$ が $m\times n$ 行列, $B$ が $n\times m$ 行列のとき, $$ \mathop{\mathrm{tr}} AB = \mathop{\mathrm{tr}} BA $$ が成り立つことを証明せよ.

---

[q201109022100]  任意の正方行列 $A$ に対して, ある対称行列 $B$ と交代行列 $C$ が一意的に存在して, $A=B+C$ が成り立つことを証明せよ.

---

[q201109022200]  $A$ を対角成分がすべて $0$ であるような $n$ 次の上三角行列とする. このとき, $A^n=0$ が成り立つことを証明せよ.

---

[q201108301100]  $A$ を $r$ 次正方行列, $D$ を $s$ 次正方行列とするとき, $$ \det\begin{bmatrix} A & O \\ C & D\end{bmatrix} = \det A\det D $$ が成り立つことを証明せよ.

---

[q201108301130]  $A$, $B$ がともに $n$ 次正方行列であるとき, $$ \det\begin{bmatrix} A & B \\ B & A\end{bmatrix} = \det(A-B)\det(A+B) $$ が成り立つことを証明せよ.

---