解答例 1

$E_r$, $E_s$ をそれぞれ $r$ 次, $s$ 次の単位行列とする. $$ \begin{bmatrix} A & O \\ C & D\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & O \\ C & E_s\end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_r & O \\ O & D\end{bmatrix} $$ より, $$ \det\begin{bmatrix} A & O \\ C & D\end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} A & O \\ C & E_s\end{bmatrix} \det\begin{bmatrix} E_r & O \\ O & D\end{bmatrix}. $$ 行列式の余因子展開を用いて計算すると, $$ \det\begin{bmatrix} A & O \\ C & E_s\end{bmatrix} = \det A, \quad \det\begin{bmatrix} E_r & O \\ O & D\end{bmatrix} = \det D $$ が得られる. したがって, 求める等式が得られる.

解答例 2

$n=r+s$ とし, $$ X = [x_{ij}] = \begin{bmatrix} A & O \\ C & D\end{bmatrix} $$ とおく. $(1, 2, \ldots, n)$ の置換の全体を $S_n$ とすると, $$ \det X = \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma) x_{1,\sigma(1)}\cdots x_{r,\sigma(r)} x_{r+1,\sigma(r+1)}\cdots x_{n,\sigma(n)} $$ である. $x_{ij}=0$ ($1\leq i\leq r$, $r+1\leq j\leq n$) であるから, $\{ \sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(n) \}$ の中に $r$ より大きな数があれば, $$ x_{1,\sigma(1)}\cdots x_{r,\sigma(r)} x_{r+1,\sigma(r+1)}\cdots x_{n,\sigma(n)} = 0 $$ となる. よって, $\sigma$ に関する和は \begin{equation} \{ \sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(r) \} = \{ 1, 2, \ldots, r \} \end{equation} となるものについてのみ取ればよい. このときには $$ \{ \sigma(r+1), \sigma(r+2), \ldots, \sigma(n) \} = \{ r+1, r+2, \ldots, n \} $$ となる.

(1) が成り立つような $\sigma$ の全体を $S'_n$ とし, $(1, 2, \ldots, r)$ のみを入れ替える置換の全体を $S_r$, $(r+1, r+2, \ldots, n)$ のみを入れ替える置換の全体を $S_{n-r}$ で表すことにする.

各々の $\sigma\in S'_n$ に対し, $\tau\in S_r$, $\rho\in S_{n-r}$ を \begin{align*} \tau &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & r \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(r) \end{pmatrix}, \\ \rho &= \begin{pmatrix} r+1 & r+2 & \cdots & n \\ \sigma(r+1) & \sigma(r+2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} \end{align*} によって定めると, \begin{equation} \sigma = \tau\rho \tag{2} \end{equation} であり, $$ \mathrm{sgn}(\sigma) = \mathrm{sgn}(\tau)\mathrm{sgn}(\rho) $$ が成り立つ. $\sigma$ に対して, (2) の表し方は一意的である. よって, 1対1の対応 $$ S'_n\longrightarrow S_r\times S_{n-r},\quad \sigma\longmapsto (\tau, \rho) $$ が定まる. したがって, \begin{align*} \det X &= \sum_{\sigma\in S'_n}\mathrm{sgn}(\sigma) x_{1,\sigma(1)}\cdots x_{r,\sigma(r)} x_{r+1,\sigma(r+1)}\cdots x_{n,\sigma(n)} \\ &= \sum_{(\tau,\rho)\in S_r\times S_{n-r}}\mathrm{sgn}(\tau)\mathrm{sgn}(\rho) x_{1,\tau(1)}\cdots x_{r,\tau(r)} x_{r+1,\rho(r+1)}\cdots x_{n,\rho(n)} \\ &= \left(\sum_{\tau\in S_r}\mathrm{sgn}(\tau)x_{1,\tau(1)}\cdots x_{r,\tau(r)}\right) \left(\sum_{\rho\in S_{n-r}}\mathrm{sgn}(\rho)x_{r+1,\rho(r+1)}\cdots x_{n,\rho(n)}\right) \\ &= \det A\det D. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日