[q201108301200]  $A$, $B$ を $n$ 次実正方行列とするとき, $$ \det\begin{bmatrix} A & -B \\ B & A\end{bmatrix} = \left\lvert \det(A+\sqrt{-1}B)\right\rvert^2 $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201108301300]  \begin{equation} \det\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{bmatrix} = \prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i) \tag{$*$} \end{equation} を証明せよ.

Keywords: Vandermonde の行列式, ヴァンデルモンドの行列式

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[q201108301330]  \begin{equation} \det\begin{bmatrix} a_0 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_1 & x & -1 & \ddots & \vdots \\ a_2 & 0 & x & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ a_n & 0 & \cdots & 0 & x \end{bmatrix} = a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n \tag{$*$} \end{equation} を証明せよ.

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[q201108301400]  \begin{equation} \det\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & \cdots & x_n \\ x_n & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\ x_{n-1} & x_n & x_1 & \cdots & x_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ x_2 & x_3 & \cdots & x_n & x_1 \end{bmatrix} = \prod_{\zeta}(x_1+\zeta x_2+\cdots+\zeta^{n-1}x_n) \tag{$*$} \end{equation} を証明せよ. ただし, $\zeta$ は $\mathbb{C}$ における $1$ の $n$ 乗根全体にわたる.

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[q201110130300]  ベクトル空間の定義を述べよ.

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