$A$ が $m\times n$ 行列, $B$ が $n\times m$ 行列のとき, $$ \mathop{\mathrm{tr}} AB = \mathop{\mathrm{tr}} BA $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$A=[a_{ij}]$, $B=[b_{ij}]$ とおく. $AB$ は $m\times m$ 行列, $BA$ は $n\times n$ 行列であり, $$ AB = \left[\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj} \right],\quad BA = \left[\sum_{k=1}^{m}b_{ik}a_{kj} \right] $$ であるから, $$ \mathop{\mathrm{tr}} AB = \sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ki} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}b_{ik}a_{ki} = \mathop{\mathrm{tr}} BA. $$
最終更新日：2011年11月02日