解答例 1

$$ A = \begin{bmatrix} 0 & * & * & * & * \\ & 0 & * & * & * \\ & & \ddots & * & * \\ & & & \ddots & * \\ & & & & 0 \end{bmatrix} $$ とおくと, \begin{align*} A^2 &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & * & * & * \\ & 0 & 0 & * & * \\ & & \ddots & \ddots & * \\ & & & \ddots & 0 \\ & & & & 0 \end{bmatrix}, \quad A^3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & * & * \\ & 0 & 0 & \ddots & * \\ & & \ddots & \ddots & 0 \\ & & & \ddots & 0 \\ & & & & 0 \end{bmatrix}, \\ & \cdots\cdots \\ A^{n-1} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & * \\ & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & 0 \\ & & & & 0 \end{bmatrix}, \quad A^n = O. \end{align*}

解答例 2

$\det(tE-A) = t^n$ なので, Hamilton-Cayley の定理により, $A^n=O$.

最終更新日：2011年11月02日