[q201106302330]  $C^1$ 級関数 $f(x, y)$ によって定まる曲線 $$ C: f(x, y) = 0 $$ 上の点 $(a, b)$ における $C$ の接線は, 方程式 \begin{equation} f_x(a, b)(x-a) + f_y(a, b)(y-b) = 0 \tag{$*$} \end{equation} で表せることを証明せよ. ただし, \begin{equation} f_x(a, b)^2 + f_y(a, b)^2 \neq 0 \tag{$*$$*$} \end{equation} とする.

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[q201106302345]  $C^1$ 級関数 $f(x, y, z)$ によって定まる曲面 $$ S: f(x, y, z) = 0 $$ 上の点 $(a, b, c)$ における $S$ の接平面は, 方程式 \begin{equation} f_x(a, b, c)(x-a) + f_y(a, b, c)(y-b) + f_z(a, b, c)(z-c) = 0 \tag{$*$} \end{equation} で表せることを証明せよ. ただし, \begin{equation} f_x(a, b, c)^2 + f_y(a, b, c)^2 + f_z(a, b, c)^2 \neq 0 \tag{$*$$*$} \end{equation} とする.

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[q201108101100]  $a$, $b$ を正の実数とするとき, 楕円 $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線は, 方程式 $$ \frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1 $$ で表されることを証明せよ.

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[q201108230900]  $n$ を正の整数とする. 平面上の $n$ 個の点 $$ P_i = (x_i, y_i)\quad (i=1, 2, \ldots, n) $$ が与えられたとき, それらの点からの距離を $2$ 乗したものの和が最小になる点を求めよ.

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[q201109030900]  $n$ を $2$ 以上の整数, $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $\ldots$, $(x_n, y_n)\in\mathbb{R}^2$ とし, $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ は互いに異なるものとする. このとき, $$ f(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^n\bigl(y_i - (\alpha x_i + \beta) \bigr)^2 $$ の最小値を与える $(\alpha, \beta)\in\mathbb{R}^2$ を求めよ.

Keywords: 最小二乗法

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