解答例 1

\begin{equation*} \begin{split} f(x)&=\frac{ax+b}{cx+d} \quad (ad-bc\neq 0), \\ g(x)&=\frac{a'x+b'}{c'x+d'} \quad (a'd'-b'c'\neq 0) \end{split} \end{equation*} とおく.

(i) \begin{equation*} \begin{split} f\circ g(x) &= f(g(x)) \\ &= \frac{\displaystyle a\cdot\frac{a'x+b'}{cx'+d'}+b} {\displaystyle c\cdot\frac{a'x+b'}{cx'+d'}+d} \\ &= \frac{a(a'x+b')+b(cx'+d')}{c(a'x+b')+d(cx'+d')} \\ &= \frac{(aa'+bc')x+(ab'+bd')}{(ca'+dc')x+(cb'+bd')} \end{split} \end{equation*} であるから, \begin{equation*} \begin{split} A(f)A(g) &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} aa'+bc' & ab'+bd' \\ ca'+dc' & cb'+dd' \\ \end{pmatrix} \\ &= A(f\circ g). \end{split} \end{equation*}

(ii) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めるために, $y=f(x)$ とおき, これを $x$ について解く. $$ y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}. $$ 分母を払うと, $$ (cx+d)y=ax+b. $$ ゆえに \begin{equation*} (cy-a)x = -dy+b. \tag{1} \end{equation*}

$c\neq 0$ のとき, もし仮に $cy-a=0$ であるとすると, \begin{equation*} y=\frac{a}{c}. \tag{2} \end{equation*} また, (1) より $$ -dy+b=0. $$ これに (2) を代入すると, $$ -d\cdot\frac{a}{c}+b=0,\quad\text{ゆえに},\quad ad-bc=0. $$ これは $ad-bc\neq 0$ に矛盾する. したがって, $cy-a\neq 0$ でなければならない.

$c=0$ のとき, もし $a=0$ ならば $ad-bc=0$ となり, $ad-bc\neq 0$ に矛盾する. ゆえに, $a\neq 0$ でなければならない. したがって, $cy-a\neq 0$ である.

いずれにせよ $cy-a\neq 0$ であるから, (1) の両辺を $cy-a$ で割ると, $$ x=\frac{-dy+b}{cy-a}. $$ したがって, $$ f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}. $$ よって, $$ A(f)^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{\varDelta(f)}A(f^{-1}). $$

最終更新日：2011年11月02日