解答例 1

(i) $0=0+0\sqrt{-1}$, $1=1+0\sqrt{-1}$ であるから, \begin{equation*} \begin{split} &A(0)=0E+0J = O, \\ &A(1)=1E+0J = E. \end{split} \end{equation*}

(ii) (a) $\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)\sqrt{-1}$ であるから, \begin{equation*} \begin{split} A(\alpha)+A(\beta) &= (aE+bJ)+(cE+dJ) \\ &= (a+c)E+(b+d)J \\ &= A(\alpha+\beta). \end{split} \end{equation*}

(b) $-\alpha=-a+(-b)\sqrt{-1}$ であるから, $$ A(-\alpha)=-aE+(-b)J = -(aE+bJ)=-A(\alpha). $$

(c) $J^2=-E$ と $\alpha\beta=(ac-bd)+(ad+bc)\sqrt{-1}$ であることから, \begin{equation*} \begin{split} A(\alpha)A(\beta) &=(aE+bJ)(cE+dJ) \\ &=acE+(aE)(dJ)+(bJ)(cE)+bdJ^2 \\ &=(ac-bd)E+(ad+bc)J \\ &=A(\alpha\beta). \end{split} \end{equation*}

(d) (i) と (ii)-(c) より $$ A(\alpha)A\biggl(\frac{1}{\alpha}\biggr) = A\biggl(\alpha\cdot\frac{1}{\alpha}\biggr) = A(1) = E. $$ したがって, $A(\alpha)^{-1}=\displaystyle A\biggl(\frac{1}{\alpha}\biggr)$.

(e) $A(\alpha)=O$ より, \begin{equation} aE+bJ=O. \tag{1} \end{equation} もし $b\neq 0$ ならば, $\displaystyle k=\frac{a}{b}$ とおくと, (1) より $J=-kE$. 両辺を $2$ 乗すると $J^2=k^2E$ となる. $J^2=-E$ だから $-E=k^2E$. よって, $-1=k^2$. これは $k$ が実数であることに反する. したがって, $b=0$ でなければならない. このとき (1) より $aE=O$. よって, $a=0$.

(f) (a), (b) より, \begin{equation*} \begin{split} A(\alpha)-A(\beta) &=A(\alpha)+A(-\beta) \\ &=A(\alpha+(-\beta)) \\ &=A(\alpha-\beta). \end{split} \end{equation*} $A(\alpha)=A(\beta)$ だから, $A(\alpha-\beta)=O$. ゆえに (e) より $\alpha-\beta=0$. したがって, $\alpha=\beta$.

(iii) $J=\begin{pmatrix} s & t \\ u & v \end{pmatrix}$ とおくと, $J^2=\begin{pmatrix} s^2+tu & t(s+v) \\ u(s+v) & tu+v^2 \end{pmatrix}$.

$J^2=-E$ のとき, \begin{equation*} \begin{split} s^2+tu=tu+v^2=-1, \\ t(s+v)=u(s+v)=0. \end{split} \end{equation*} $s=v=0$ とおいてみると, 上の条件から $tu=-1$.

そこで, 例えば $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ などを $J$ としてとれば, $J^2=-E$ が成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日